Question

3．数列{a_n}满足a₁=k，k∈N^*，a₂为k+1，k+2，k+3…中划去k的倍数后，剩下数中的最小数，a₃是将剩下数中再把a₂倍数划去后，剩下数中的最小数，依次确定后面的项，若2012是数列中某项，则k的最小值为1007．

Answer 1

分析 通过2012=2×2×503可知k≠1006且k≠503，利用503是一个质数可知k＞503，利用已知数列的定义可知当503＜k＜1006时不满足条件，进而分析可知当k＞1006时满足条件，从而可得结论．

解答 解：∵2012=2×2×503，
∴k≠1006且k≠503（否则2012不是数列中某项），
又∵503是一个质数，
∴当k＜503时，数列{a_n}中一定存在某一项的值为503，
∴k的最小值必须大于503，
∵当503＜k＜1006时，1005＜1006＜2k，
∴数列{a_n}中一定存在某一项的值为1005，
∴2012不是数列中的项，矛盾，从而k＞1006，
∵2×1007=2014，
∴当k＞1006时，k，k+1，k+2，k+3，…，2k-1都是数列{a_n}中的项，
且2012=2×1006＜2k-1，
∴k的最小值为1007，
故答案为：1007．

点评 本题考查是一道关于数列的综合题，考查分析问题、解决问题的能力，题目新颖，难度较大，注意解题方法的积累，属于难题．