Question

（2013•成都二模）如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2AB=2，∠BAC=90°，点D是侧棱CC₁ 延长线上一点，EF是平面ABD与平面A₁B₁C₁的交线．
（I）求证：EF丄A₁C；
（II）当平面DAB与平面CA₁B₁所成锐二面角的余弦值为

26

26

时，求DC₁的长．

Answer 1

分析：（I）证明AB⊥平面ACC₁A₁，EF∥AB，即可证明EF丄A₁C；
（II）建立空间直角坐标系，求出平面CA₁B₁的法向量、平面DAB的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．

解答：（I）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
又∵平面ABC∩平面ABD=AB，平面A₁B₁C₁∩平面ABD=EF
∴EF∥AB
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，又∠BAC=90°
∴AB⊥AA₁，AB⊥AC
∵AA₁∩AC=A
∴AB⊥平面ACC₁A₁
∵A₁C?平面ACC₁A₁
∴AB⊥A₁C
∴EF⊥A₁C
（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设C₁D=t（t＞0），则B（1，0，0），C（0，2，0），D（0，2，2+t），A₁（0，0，2），B₁（1，0，2）
∴

A1B1

=（1，0，0），

A1C

=（0，2，-2）
设平面CA₁B₁的法向量为

n

=（x₁，y₁，z₁），则

n • A1B1 =0 n • A1C =0

∴

x1=0 y1-z1=0

令z₁=0，则y₁=1，∴

n

=（0，1，1）
同理可求得平面DAB的法向量

m

=（0，1，-

2

t+2

）
由|cos＜

n

，

m

＞|=

|1- 2 t+2 |

2 × 1+( 2 t+2 )2

=

26

26

∴t=1 或t=-

2

3

（舍去）
∴DC₁=1

点评：本题考查线面垂直，考查空间角，考查利用向量知识解决立体几何问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．