Question

14．求y=$\frac{sinx-2}{cosx-3}$的值域．

Answer 1

分析 把已知的函数式变形，利用辅助角公式得到$sin（x-α）=\frac{2-3y}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$，（tanα=y）．然后利用三角函数的有界性转化为关于y的不等式求解．

解答 解：由y=$\frac{sinx-2}{cosx-3}$，得sinx-2=ycosx-3y，即sinx-ycosx=2-3y，
∴$\sqrt{1+{y}^{2}}sin（x-α）=2-3y$，$sin（x-α）=\frac{2-3y}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$，（tanα=y）．
由三角函数的有界性可得：$|\frac{2-3y}{\sqrt{1+{y}^{2}}}|≤1$，即（2-3y）²≤1+y²，
化简得，8y²-12y+3≤0，解得：$\frac{3-\sqrt{3}}{2}≤y≤\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．
∴y=$\frac{sinx-2}{cosx-3}$的值域为[$\frac{3-\sqrt{3}}{2}，\frac{3+\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查与三角函数有关的函数值域的求法，考查了利用三角函数的有界性求函数最值，是中档题．