Question

4．对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$=-1，则方程ax²+bx+c=0一定有一根是x=1；
②若c=a³，b=2a²，则方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根；
③若a＜0，b＜0，c＞0，则方程cx²+bx+a=0必有实数根；
④若ab-bc=0且$\frac{a}{c}$＜-1，则方程cx²+bx+a=0的两实数根一定互为相反数．
其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③④
• B． ①②④
• C． ①③
• D． ②④

Answer 1

分析 根据方程根的定义及一元二次方程根与系数的关系，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：若$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$=-1，即a+b=-c，当x=1时，ax²+bx+c=a+b+c=0，
故若$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$=-1，则方程ax²+bx+c=0一定有一根是x=1，即①正确；
若c=a³，b=2a²，则方程ax²+bx+c=0的△=（2a²）²-4•a•a³=0，
则方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，故②正确；
若a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，
则方程cx²+bx+a=0的△=b²-4ac＞0，此时方程必有实数根，故③正确；
④若ab-bc=0且$\frac{a}{c}$＜-1，
则b=0，a=-c≠0，则方程cx²+bx+a=0可化为cx²-c=0，解得：x=±1，故④正确；
故正确的结论是：①②③④，
故选：A

点评 本题考查的知识点是方程根的定义及一元二次方程根与系数的关系，难度中档．