Question

9．已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₁+a₃+a₅=12，且前7项和S₇=35．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+1}{{a}_{n}^{2}-1}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n-n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d且d≠0，根据等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出d和a₁，即可求出a_n；
（2）由（1）和分裂常数法化简b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+1}{{a}_{n}^{2}-1}$，利用裂项相消法求出T_n，即可证明T_n-n＜$\frac{3}{2}$成立．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d且d≠0，
∵a₁+a₃+a₅=12，且前7项和S₇=35，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+6d=12}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}×d=35}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n+1；
（2）由（1）得，b_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{{（n+1）}^{2}+1}{{（n+1）}^{2}-1}$=$\frac{{（n+1）}^{2}-1+2}{{（n+1）}^{2}-1}$
=1+$\frac{2}{{（n+1）}^{2}-1}$=1+$\frac{2}{n（n+2）}$=1+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=n+[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）]
=n+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{3}{2}$+n-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴T_n-n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力，属于中档题．