Question

1．已知f（x）是定义在R上的函数，?x∈R都有f（x+6）=f（x）+2f（3），若函数f（x+1）的图象关于直线x+1=0对称，且f（0）=2016，则f（2016）=（　　）

• A． 0
• B． -2016
• C． 2016
• D． 2015

Answer 1

分析 根据函数平移关系得到f（x）关于x=0对称，即函数为偶函数，对已知条件赋值可求f（3）=f（-3）=0，可得函数是以6为周期的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化即可．

解答 解：∵函数f（x+1）的图象关于直线x+1=0对称
∴函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，
即函数y=f（x）为偶函数．
∵?x∈R都有f（x+6）=f（x）+2f（3），
令x=-3可得f（3）=f（-3）+2f（3），
∴f（-3）=-f（3）=f（3），
∴f（3）=f（-3）=0．
∴f（x+6）=f（x）即函数是以6为周期的周期函数，
∴f（2016）=f（336×6）=f（0）=2016，
故选：C．

点评 本题主要考查函数值的计算，函数的图象的平移及偶函数的性质的应用，函数的周期的求解是求解本题的关键