Question

16．已知集合M⊆{1，2，…，n-1}（n≥2，n∈N），若a∈M，则n-a∈M的非空集合M的个数是${2}^{\frac{n}{2}}$-1或${2}^{\frac{n-1}{2}}$-1．

Answer 1

分析 根据a+n-a=n，从而说明集合{1，2，…，n}的两个元素和为n的可作为集合M的元素，为求有多少对这样的数，从而可想到讨论n为偶数和奇数：n为偶数时，$\frac{n}{2}$当作一对，共$\frac{n}{2}$对，根据二项式定理及组合的知识即可得到M的个数为${2}^{\frac{n}{2}}-1$，同样的方法会得到n为奇数时M的个数，这样便得出了答案．

解答 解：a+（n-a）=n，而1+（n-1）=n，2+（n-2）=n，…；
∴①若n为偶数，n-1为奇数，中间一项为$\frac{n}{2}$，满足$\frac{n}{2}+n-\frac{n}{2}=n$，其它和为n的有$\frac{n}{2}-1$对；
∴此时M的个数为${2}^{\frac{n}{2}}-1$；
②若n为奇数，n-1为偶数，则和为n的数有$\frac{n-1}{2}$对；
∴此时M的个数为${2}^{\frac{n-1}{2}}-1$．
故答案为：${2}^{\frac{n}{2}}-1$，或${2}^{\frac{n-1}{2}}-1$．

点评 考查元素与集合概念及关系，可对M元素的个数进行讨论，从而利用上组合的概念，以及二项式定理及（1+1）ⁿ的二项展开式．