Question

11．已知{a_n}是等差数列，且满足a₁•a₅=9，a₂+a₄=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求数列{a_n}的公差数列d＞0时，{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据题意和等差数列的性质求出a₁、a₅，由等差数列的通项公式求出公差，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）和d＞0确定数列a_n，代入b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$化简，利用裂项相消法求出T_n．

解答 解：（1）由等差数列的性质得，a₂+a₄=a₁+a₅=10，
又a₁•a₅=9，则a₁、a₅是方程x²-10x+9=0的两个根，
解得a₁=1、a₅=9或a₁=9、a₅=1，
则当a₁=1、a₅=9时，公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
当a₁=9、a₅=1时，公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=-2，
所以a_n=-2n+11；
（2）由（1）得d=2，则a_n=2n-1，
所以b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
则T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-$$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）]
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式、性质，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题．