Question

17．已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上既是奇函数又是减函数．
（1）求证：对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有[f（x₁）+f（x₂）]（x₁+x₂）≤0；
（2）若f（1-a）+f（1-a²）＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x₂∈[-1，1]，可得-x₂∈[-1，1]，利用函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数，即可证明结论；
（2）f（1-a）+f（1-a²）＜0，等价于a²+a-2＜0，即可求出实数a的取值范围．

解答 （1）证明：∵x₂∈[-1，1]，∴-x₂∈[-1，1]，
设x₁≤-x₂，则∵函数y=f（x）是减函数，
∴f（x₁）≥f（-x₂），
∵函数y=f（x）是奇函数，
∴f（x₁）≥-f（x₂），
∴f（x₁）+f（x₂）≥0，
∵x₁+x₂≤0，
∴[f（x₁）+f（x₂）]•（x₁+x₂）≤0；
（2）解：由题意f（1-a）+f（1-a²）＜0，则f（1-a）＜f（a²-1），
∴1＞1-a＞a²-1＞-1，
∴0＜a＜1．

点评 本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．