Question

13．若A={x|2^2x-1≤$\frac{1}{4}$}，B={x|log${\;}_{\frac{1}{16}}$x≥$\frac{1}{2}$}，实数集R为全集，则（∁_RA）∩B=（0，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 将$\frac{1}{4}$变成2^-2，根据指数函数的单调性即可得到2x-1≤-2，从而得出A，将$\frac{1}{2}$变成$lo{g}_{\frac{1}{16}}（\frac{1}{16}）^{\frac{1}{2}}$，根据对数函数的单调性即可得到$x≤\frac{1}{4}$，并且x＞0，从而得出集合B，然后进行补集、交集的运算即可得出答案．

解答 解：${2}^{2x-1}≤\frac{1}{4}$；
∴2^2x-1≤2^-2；
∴2x-1≤-2；
∴$x≤-\frac{1}{2}$；
∴$A=（-∞，-\frac{1}{2}]$；
∴由$lo{g}_{\frac{1}{16}}x≥\frac{1}{2}$得：$lo{g}_{\frac{1}{16}}x≥lo{g}_{\frac{1}{16}}（\frac{1}{16}）^{\frac{1}{2}}$；
∴$0＜x≤\frac{1}{4}$；
∴$B=（0，\frac{1}{4}]$；
∴${∁}_{R}A=（-\frac{1}{2}，+∞）$，$（{∁}_{R}A）∩B=（0，\frac{1}{4}]$．
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$]．

点评 考查通过指数函数及对数函数的单调性解不等式的方法，以及集合的补集、交集的运算．