Question

15．已知数列{a_n}的递推公式为：a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$．
（1）是否存在a₁，使得数列{a_n}是常数列．
（2）证明：数列{a_n}为周期数列，并求其周期；
（3）若a₁=2，求a₂₀₁₄与S₂₀₁₄的值．

Answer 1

分析 （1）假设存在a₁使得数列{a_n}是常数列，解方程a₁=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$即可；
（2）通过a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$计算出前几项的值即得结论；
（3）通过a₁=2及（2）可知a₂=-1，a₃=$\frac{1}{2}$，进而a₁•a₂•a₃=-1，利用2014=671×3+1计算即得结论．

解答 （1）解：不存在a₁，使得数列{a_n}是常数列．
理由如下：
假设存在a₁，使得数列{a_n}是常数列，
则a₁=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$，
化简得：${{a}_{1}}^{2}$-a₁+1=0，
显然该方程无解，
∴不存在a₁，使得数列{a_n}是常数列；
（2）证明：依题意，a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{1-{a}_{1}}}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}$，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}}$=a₁，
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列；
（3）解：若a₁=2，由（2）可知a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=-1，a₃=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a₁•a₂•a₃=2•（-1）•$\frac{1}{2}$=-1，
∵2014=671×3+1，
∴a₂₀₁₄=a₁=2，S₂₀₁₄=（-1）⁶⁷¹•（-2）=2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．