Question

已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：(1)令f′ (x)＝3x²－2ax＋3＞0，∴a＜_min＝3(当x＝1时取最小值)．

∵x≥1，∴a＜3，a＝3时亦符合题意，∴a≤3.

(2)f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，

∴a＝5，f(x)＝x³－5x²＋3x，f′(x)＝3x²－10x＋3.

令f′(x)＝0，得x₁＝3，x₂＝(舍去)．

当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0，

即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.

又f(1)＝－1，f(5)＝15，∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.