Question

设函数f（x）=-a+

-x2+4x

，g（x）=ax+a，若恒有f（x）≤g（a）成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先求函数f（x）的定义域，确定x的范围，化简f（x）≤g（a）为a≥

-x2+4x

x+2

，令t=x+2，构造函数h（t）=

-t2+8t-12

t

，化简后得h（t）=

-12( 1 t - 1 3 )2+ 1 3

，根据t的范围求h（x）的最大值，即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=-a+

-x2+4x

，
∴-x²+4x≥0
解得0≤x≤4，
∵f（x）=-a+

-x2+4x

，g（x）=ax+a，
∴f（x）≤g（a）可化为
-a+

-x2+4x

≤ax+a，
即

-x2+4x

≤（x+2）a
∵x+2＞0
∴a≥

-x2+4x

x+2

，…①
令t=x+2，则2≤t≤6，
①式可化为，a≥

-(t-2)2+4(t-2)

t

，
即a≥

-t2+8t-12

t

，
令h（t）=

-t2+8t-12

t

=

- 12 t2 + 8 t -1

=

-12( 1 t - 1 3 )2+ 1 3

，
∵2≤t≤6，
∴

1

6

≤

1

t

≤

1

2

，
∴h（t）在t=3时，取最大值，且h(3)=

3

3

，
∴a≥

3

3

．
∴实数a的取值范围是[

3

3

，+∞)．

点评：本题考查函数定义域，不等式的化简，配方法求函数最大值的技巧，以及恒成立问题的转化等综合知识，属于难题．