Question

如图，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．
（Ⅰ）求DP与CC′所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．
连接BD，B'D'．在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．
求出．
（Ⅰ）利用，求出．即可．
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是．通过，得到．即可．
方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标
系D-xyz．求出解题过程同方法一．
解答：解：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz．
则，．连接BD，B'D'．
在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H．
设，由已知，
由
可得．解得，所以．（4分）
（Ⅰ）因为，
所以．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是．
因为，所以．
可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标
系D-xyz．则，，．
设P（x，y，z）则，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）
∴，则，由已知，，
∴λ²-4λ+2=0，解得，∴（4分）
（Ⅰ）因为，
所以．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是．
因为，所以．
可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）
点评：本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，法向量的求法，直线与平面所成的角，考查计算能力．