Question

已知函数f（x）=lnx+a（x²-x）
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
（3）比较lnn与n²-n（n∈N^*）的大小，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）当a=-1，f（x）=lnx-x²+x，x＞0，
f′（x）=-2x+1，
令f′（x）=0，得-2x+1=0，
∴2x²-x-1=0，
（2x+1）（x-1）=0，
x=1或x=-（舍），
列表讨论：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）；函数f（x）的单调减区间是（1，+∞）．
函数不存在极小值，当x=1时取得极大值，
极大值为f（1）=ln1-1+1=0．
（2）∵f（x）=lnx+a（x²-x）的定义域为（0，+∞），且f（x）存在单调递减区间，
∴=≤0在（0，+∞）有解，
即2ax²-ax+1≤0在（0，+∞）有解，
∴，
解得a≥8，或a＜0．
故实数a的取值范围{a|a≥8，或a＜0}．
（3）lnn≤n²-n，（n∈N^*）．
证明：由（1）知，n∈N^*时，f（n）=lnn-n²+n是减函数，
且最大值为f（1）=ln1-1+1=0，
∴f（n）=lnn-n²+n≤0，
∴lnn≤n²-n，（n∈N^*）．
分析：（1）当a=-1，f（x）=lnx-x²+x，x＞0，故f′（x）=-2x+1，令f′（x）=0，得x=1或x=-（舍），列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（2）由f（x）=lnx+a（x²-x）的定义域为（0，+∞），且f（x）存在单调递减区间，知=≤0在（0，+∞）有解，即2ax²-ax+1≤0在（0，+∞）有解，由此能求出实数a的取值范围．
（3）由（1）知，n∈N^*时，f（n）=lnn-n²+n是减函数，且最大值为f（1）=ln1-1+1=0，故f（n）=lnn-n²+n≤0，由此能比较lnn与n²-n，（n∈N^*）的大小．
点评：本题考查函数的单调区间、极值的求法，判断实数的取值范围，比较大小．综合性强，难度大．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．