Question

已知函数f(x)=x-

a

x

-(a+1)lnx  (a∈R)．
（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得至少有一个x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞x₀成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求得函数f（x）的定义域，求导函数，对a讨论，利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）先考虑“至少有一个x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞x₀成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1+

a

x2

-

a+1

x

=

(x-a)(x-1)

x2

…（2分）
（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x＜1
故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）…（4分）
（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）…（5分）
（Ⅱ）先考虑“至少有一个x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞x₀成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立．
令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…（6分）
求导函数φ′（x）=（a+1）（1+lnx）
当a+1＞0时，在x∈(0，

1

e

)时，φ′（x）＜0，在x∈(

1

e

，+∞)时，φ′（x）＞0
∴φ（x）的最小值为φ(

1

e

)，
由φ(

1

e

)≥0得a≥

1

e-1

，故当a≥

1

e-1

时，f（x）≤x恒成立，…（9分）
当a+1=0时，φ（x）=-1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（11分）
当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜-1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…（13分）
综上所述，即a＜

1

e-1

或a≤-1时，至少有一个x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞x₀成立．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论、等价转化的数学思想，考查学生的分析解决问题的能力，属于中档题．