Question

已知直线l过点P(-1,1),倾斜角为θ,与抛物线y²=-8x交于A、B两点.

(1)求|PA|·|PB|的最小值及此时l的方程;

(2)若P(-1,1)平分线段AB,求l的方程;

(3)若线段AB被P(-1,1)三等分,求l的方程.

Answer 1

解析:由于题目所求部分有明确几何意义,可考虑用直线的参数方程.

解:设直线l的参数方程为(t为参数),代入抛物线方程并整理得t²sin²α+2tsinα+8tcosα-7=0.?

∵Δ=(2sinα+8cosα)²+28sin²α=48+8sin(2α+)＞0,∴它的两根t₁、t₂为AB对应的参数值.?

(1)|PA|·|PB|=|t₁|·|t₂|=|t₁t₂|=

(α≠kπ,否则直线与抛物线只有一个交点)?

当sinα=±1时,|PA||PB|有最小值7,此时直线方程为x=-1.?

(2)若P为中点,则t₁+t₂=0,?

∴=0.∴k=tanα=-4.?

直线l的方程为4x+y+3=0.?

(3)为AB的三等分点,不妨设|PA|=2|PB|,?

即t₁=-2t₂,

∴t₁+t₂=-t₂,t₁t₂=-2t₂².?

∴-2(t₁+t₂)²=t₁t₂.?

由韦达定理知

=-2·,?整理得(3sinα+8cosα)(sinα+8cosα)=0.?

∴k₁=tanα₁=-,k₂=tanα₂=-8.?

故所求直线l的方程为8x+3y+5=0或8x+y+7=0.