Question

好利来蛋糕店某种蛋糕每个成本为6元，每个售价为x（6＜x＜11）元，该蛋糕年销售量为m万个，若已知

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-m与(x-

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)2成正比，且售价为10元时，年销售量为28万个．
（1）求该蛋糕年销售利润y关于售价x的函数关系式；
（2）求售价为多少时，该蛋糕的年利润最大，并求出最大年利润．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）利用

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-m与(x-

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)2成正比，且售价为10元时，年销售量为28万个，求出k的值，从而可得m，即可求该蛋糕年销售利润y关于售价x的函数关系式；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可求得结论．

解答： 解：（1）设

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-m=k(x-

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)2，
由x=10时，m=28，解得：k=2，
∴m=-2(x-

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)2+

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=-2x2+21x+18．
∴y=m（x-6）=（-2x²+21x+18）（x-6）=-2x³+33x²-108x-108（6＜x＜11）

（2）y′=-6x²+66x-108=-6（x-2）（x-9），
y′＞0，6＜x＜9；y′＜0，9＜x＜11；
∴x=9元时，年利润最大，最大为135万元．

点评：本题考查利用函数知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数解析式是关键．