Question

已知函数y=e^x图象记为曲线C₁，O为坐标系原点
Ⅰ）过O作曲线C₁的切线l，求切线l的方程；
Ⅱ）函数y=lnx图象记为曲线C₂，点P在曲线C₁上，点Q在曲线C₂上，设∠POQ=θ，求cosθ的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求切线l的方程；
Ⅱ）分别求出两个函数的切线，利用切线之间的夹角最小即可得到结论．

解答： 解：Ⅰ）设切点坐标为（x₀，ex0），
则函数y=e^x的导数为f′（x）=e^x，
则切线斜率k=ex0，
则圆的切线方程为y-ex0=ex0（x-x₀），
∵直线过原点，
∴ex0（0-x₀）=-ex0，
即x₀=1，则切点为（1，e），
则切线方程为y=ex；
Ⅱ）函数的y=lnx的导数g′（x）=

1

x

，设切点为（a，lna），
则切线斜率k=

1

a

，则切线方程为y-lna=

1

a

（x-a）=

1

a

x-1，
当直线过原点时，∴-lna=-1，
解得a=e，即切点为（e，1），切线方程为y-1=

1

e

（x-e）=

1

e

x-1，
即切线方程为y=

1

e

x，
∵y=y=e^x和y=lnx互为反函数，图象关于y=x对称，
当P为（1，e），Q（e，1）时，
∠POQ=θ最小，此时cosθ最大，
则切线OQ的倾斜角α．θ=90°-2α，
sinα=

1

1+e2

．cosα=

e

1+e2

则cosθ=cos（90°-2α）=sin2α=2sinα=2×

1

1+e2

×

e

1+e2

=

2e

1+e2

，
故cosθ的最大值为

2e

1+e2

．

点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数求出切线斜率是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．