Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，求：
（1）此函数的单调区间；
（2）此函数图象在x=2处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；
（2）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx的导数为f′（x）=x-$\frac{2}{x}$（x＞0），
当x＞$\sqrt{2}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜$\sqrt{2}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
则f（x）的增区间为（$\sqrt{2}$，+∞），减区间为（0，$\sqrt{2}$）；
（2）f′（x）=x-$\frac{2}{x}$（x＞0），则f′（2）=2-1=1，
则切线的斜率为k=1，切点为（2，2-2ln2），
即有切线方程为y-2+2ln2=x-2，
即为x-y-2ln2=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查运算能力，属于基础题．