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  已知动直线l的倾斜角为,若l与抛物线=2px(p>0)交于A、B两点,且A、B两点的纵坐标之和为2.

(Ⅰ)求抛物线的方程;

(Ⅱ)若直线l平行,且过抛物线的准线与x轴的交点,M为抛物线上一动点,求M点到直线的最小距离;

(Ⅲ)线段AB的中垂线交x轴于P点,当点P关于直线l的对称点落在抛物线上时,求直线l的方程.

(Ⅳ)若直线l过抛物线的焦点,求△OAB的面积(O为坐标原点).

答案:
解析:

  (1)设直线l的方程为y=x+b

  =2p(y-b)-2py+2pb=0,此方程两实根y1、y2满足

  =2p,由已知得2p=2=1

  ∴抛物线的方程是:=2x

  (2)抛物线=2x的准线方程为x=-

  ∵l,∴的方程为y=x+2x-2y+1=0

  设M的坐标为(,y),则M到的距离为:

  

  ∴当y=1时,=0

  (3)抛物线=2x的焦点坐标为F(,0)

  ∴直线l的方程为y=x-

  (4)

  ∴=3

  ∴|AB|=+p=3+1=4

  点(0,0)到l的距离d

  ∴·d·|AB|=

  


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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(1,0),且点(-1,
2
2
)在椭圆C上.
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(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得
QA
QB
=-
7
16
恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.

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