Question

【题目】如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥外接球的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）设中点为，连接、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理得出，由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）先确定三棱锥的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果.

（1）设中点为，连接、， 因为，所以.

又，所以，

又由已知，，则，所以，.

又为正三角形，且，所以，

因为，所以，，

，平面，

又平面，平面平面；

（2）由于是底面直角三角形的斜边的中点，所以点是的外心，

由（1）知平面，所以三棱锥的外接球的球心在上.

在中，的垂直平分线与的交点即为球心，

记的中点为点，则.

由与相似可得，

所以.

所以三棱锥外接球的体积为.