Question

【题目】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左，右焦点，直线过点与椭圆交于两点，当直线的斜率为时，线段的长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据离心率可求得之间关系；可知斜率为时，与上顶点重合，设，结合椭圆定义和可构造方程求得，进而得到，从而求得，得到椭圆标准方程；

（2）当直线斜率不存在或斜率为时，易求得四边形面积为；当直线斜率为时，假设直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式可求得；将换作可得到，进而得到四边形面积，利用基本不等式可求得最小值，与对比后可得结果.

（1）由题意得：，，.

当直线斜率为时，与上顶点重合，，，

设，则，

，即，解得：，

，解得：，，

椭圆的方程为.

（2）由（1）知：.

当直线斜率不存在或斜率为时，四边形面积为；

当直线斜率为时，

设直线的方程为：，，，

则直线的方程为：，

将直线代入椭圆的方程得：，

，

，

将换作可得：.

四边形面积（当且仅当，即时取等号），

，四边形面积最小值为.