Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若是的唯一极值点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）增区间是，减区间是（2）

【解析】

（1）利用导数，求函数的单调区间；

（2）首先求函数的导数，令，转化为函数没有变号零点，求的取值范围.

解：（1）由题意可得

当时，，

因为，所以

所以时，，时，.

所以的增区间是，减区间是.

（2），令

则，当，，当，，

所以在递减，在递增，

所以

①当，即时，恒成立，

故时，；时，

故在递增，在递减，所以是的唯一极值点，满足题意.

②当.即时，在递减，在递增，.

故时，，得；时，，得

故在递增，在递减

所以是的唯一极值点，满足题意.

③当，时，，

，令，则，，

令，，

令，，，故在递增，故

故在递增，，故

所以在存在唯一零点，设为，

当时，，得；当时，，得，

所以在递减，递增，所以也是的极值点，

所以不符合题意

综上所述，的取值范围是

（注：①②可合并）