Question

【题目】已知数列中，，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.

（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；

（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

由数列为“数列”可得,，，两式相减得，又，利用等比数列通项公式即可求出,进而求出;

由题意得，，，两式相减得，，

据此可得,当时,,进而可得,即数列为常数列,进而可得,结合，得到关于的不等式,再由时，且为整数即可求出符合题意的的所有值.

因为数列为“数列”，

所以，故，

两式相减得，

在中令，则可得，故

所以，

所以数列是以为首项,以为公比的等比数列，

所以，因为，

所以.

（2）由题意得，故，

两式相减得

所以，当时，

又因为

所以当时,

所以成立,

所以当时，数列是常数列，

所以

因为当时,成立,

所以，

所以

在中令，

因为，所以可得，

所以，

由时，且为整数，

可得,

把分别代入不等式

可得,，

所以存在数列符合题意,的所有值为.