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    【题目】设矩阵M＝ (其中a>0，b>0)．

    (1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；

    (2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．

    【答案】（1）（2）

    【解析】(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，且M＝.则MM－1＝.

    所以＝.

    所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，故所求的逆矩阵M－1＝.

    (2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即

    又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1，则＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故又a>0，b>0，所以

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    【题目】已知函数.

    （1）求在处的切线方程；

    （2）求证：；

    （3）求证：有且仅有两个零点.

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    （1）若数列为“数列”，求数列的前项和；

    （2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.

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    【题目】为增强学生法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50人，统计他们的竞赛成绩，并得到如表所示的频数分布表.

    分数段

    人数

    5

    15

    15

    12

    （Ⅰ）求频数分布表中的的值，并估计这50名学生竞赛成绩的中位数（精确到0.1）；

    （Ⅱ）将成绩在内定义为“合格”，成绩在内定义为“不合格”.请将列联表补充完整.

    合格

    不合格

    合计

    高一新生

    12

    非高一新生

    6

    合计

    试问：是否有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关？说明你的理由；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在该50人中，按“合格与否”进行分层抽样，随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率.

    附：

    0.100

    0.050

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    6.635

    10.828

    ，.

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    【题目】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面底面ABCD，，，E，Q分别是BC和PC的中点．

    （I）求直线BQ与平面PAB所成角的正弦值；

    （Ⅱ）求二面角E-DQ-P的正弦值．

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    【题目】定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E1，E2，它们的长短半轴长分别为a1，b1和a2，b2，若满足a2=a1k，b2=b1k（k∈Z，k≥2），则称E2为E1的k级相似椭圆，己知椭圆E1: =1，E2为E1的2级相似椭圆，且焦点共轴，E1与E2的离心率之比为2：．

    （Ⅰ）求E2的方程；

    （Ⅱ）已知P为E2上任意一点，过点P作E1的两条切线，切点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．

    ①证明：E1在A(x1，y1)处的切线方程为=1；

    ②是否存在一定点到直线AB的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．

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    【题目】在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数)

    (1)若，求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；

    (2)设点，曲线C与直线 交于A、B两点，求的最小值

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    【题目】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

    （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

    （2）设为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

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    【题目】已知函数的极大值为,其中为自然对数的底数.

    （1）求实数的值；

    （2）若函数,对任意,恒成立.

    （i）求实数的取值范围；

    （ii）证明：.

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