Question

【题目】定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E1，E2，它们的长短半轴长分别为a1，b1和a2，b2，若满足a2=a1k，b2=b1k（k∈Z，k≥2），则称E2为E1的k级相似椭圆，己知椭圆E1: =1，E2为E1的2级相似椭圆，且焦点共轴，E1与E2的离心率之比为2：．

（Ⅰ）求E2的方程；

（Ⅱ）已知P为E2上任意一点，过点P作E1的两条切线，切点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．

①证明：E1在A(x1，y1)处的切线方程为=1；

②是否存在一定点到直线AB的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①见解析；②存在一定点到直线的距离为定值1．

【解析】

（Ⅰ）根据相似椭圆的概念，可得，，，然后根据，并结合离心率，简单计算，可得结果.

（Ⅱ）①联立方程，可得关于的一元二次方程，然后使用，并根据，可得结果.

②根据①的结论，可得在点的切线方程，根据，可得直线的方程，假设定点，使用点到线的距离公式，根据式子为定值，可得结果.

（Ⅰ）由题意知，，，

则，，

而，解得，，

故椭圆，椭圆．

（Ⅱ）①联立椭圆与直线方程，

，

点在椭圆上，有，

所以，

即直线与椭圆相切．

所以过点的切线方程为．

②由①知，过点的切线方程为，

设，则，即，

两条切线都经过点，则满足方程组．

那么点和点都在直线上，

则直线的方程为，即

假设存在一定点到直线的距离为定值，

即为定值，

则，，

故存在一定点到直线的距离为定值1．