Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的单调性；

（2）若且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析.

【解析】

（1）求导得到导函数后，通过，确定的正负，从而得到函数的单调性；

（2）将问题转化为证明：，设，只需证；通过求导运算，可知，再通过零点存在定理，不断确定的最值位置，从而证得，证得结论.

（1）函数的定义域为，

因为，所以，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

（2）若且，

欲证，只需证，

即证，

设函数，则，

当时，，

所以函数在上单调递增，所以，

设函数，则，

设函数，则，

当时，，

故，使得，

从而函数在上单调增，在上单调减，

所以，且，

故存在，使得，

即当时，，当时，，

从而函数在上单调增，在上单调减，

因为，故当时，，

所以，

即.