Question

【题目】已知抛物线，不与坐标轴垂直的直线与抛物线交于两点，当且时，.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若过定点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析，定点.

【解析】

（1）根据直线和抛物线的相交的弦长公式建立方程即可求出抛物线的标准方程.
（2）根据对称性设出，的坐标，联立方程求出直线的方程，结合方程进行判断即可.

（1）将抛物线方程和直线方程联立，得，

消去得，由根与系数关系可得，，

则，

则，化简得，解之得或（舍去），

故抛物线的标准方程为；

（2）直线方程为，

设坐标分别为.

因为点与点关于轴对称，所以坐标为，显然点也在抛物线上.

设直线与轴交点的坐标为.

由消去得.

所以，.

由于三点共线，则，

从而，化简得，

又，

，

则，

故过定点.