Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且点在椭圆C上.椭圆C的左顶点为A.

（1）求椭圆C的方程

（2）椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于P，Q两点，求三角形APQ的面积；

（3）过点A作直线与椭圆C交于另一点B.若直线交轴于点C，且，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据椭圆的离心率和过点坐标，可得关于的方程，解方程即可得到椭圆的方程；

（2）设直线PQ的方程为与椭圆联立得：，利用弦长公式和点到直线的距离公式，可求得三角形的面积；

（3）由题意知直线的斜率存在，设的方程为：，利用可得关于的方程，解方程即可得答案；

（1）由题意知：

解得：，所以，所求椭圆C的方程为.

（2）设直线PQ的方程为与椭圆联立得：

其判别式

所以，则

又点A到直线PQ的距离为

所以三角形APQ的面积为

（3）由题意知直线的斜率存在，设为，过点，则的方程为：，

联立方程组，消去整理得：，

恒成立，令，

由，得，

将代入中，得到，得，

解得：，.所以直线的斜率为.