Question

【题目】如图，在四棱柱中，底面为菱形，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据面面垂直的判定定理可知，只需证明平面即可．

由为菱形可得，连接和与的交点，

由等腰三角形性质可得，即能证得平面；

（2）由题意知，平面，可建立空间直角坐标系，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，再分别求出平面的法向量，平面的法向量，即可根据向量法求出二面角的余弦值．

（1）如图，设与相交于点，连接，

又为菱形，故，为的中点.

又，故.

又平面，平面，且，

故平面，又平面，

所以平面平面.

（2）由是等边三角形，可得，故平面，

所以，，两两垂直.如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.

不妨设，则，，

则，，，，，，

设为平面的法向量，

则即可取，

设为平面的法向量，

则即可取，

所以.

所以二面角的余弦值为0.