Question

【题目】已知函数.

求函数在处的切线方程；

若在，处导数相等，证明：.

若对于任意，直线与函数图象都有唯一公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】；证明见解析；.

【解析】

先求导得函数在处的切线方程为：，代入化简即可得结论.

根据在，处导数相等，即，为方程的根，

，解得，由韦达定理，的值写出，

进而求导可证.

将问题传化为有唯一零点，再利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性得函数草图，根据草图可得.

解：，

所以，

所以函数在处的切线方程为：

，

即，

根据题意得，，

即，为方程的根，

，

解得，

所以，，

所以

，

令，，

，，

，

当时，，单调递增.

当时，，单调递减.

所以，

所以，

所以.

根据题意得，方程只有一个根，

即，只有一个根，

令，有唯一零点，

当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，

下面证明恒成立，

若存在，使得，

所以存在，，使得，，

，则与至少有两个交点，矛盾.

由对于任意，只有一个解，得为上的增函数，

所以，

得，

令，，

则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

，

得.