Question

【题目】已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合中元素最小值记为，集合中元素最大值记为．

（1）对于数列：，写出集合及；

（2）求证：不可能为18；

（3）求的最大值以及的最小值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）详见解析；（3）的最大值为17， 的最小值为16．

【解析】

（1）由题意易得，，．

（2）利用反证法，假设，可推出，这一集合元素互异性的矛盾；

（3）首先求，由（2）知，而是可能的；再证明：的最小值为16．

（1）由题意易得，，.

（2）证明：假设，

设，

则=，

即，因为，所以，

同理，设，可以推出，

中有两个元素为1，与题设矛盾，故假设不成立，

不可能为18．

（3）的最大值为17，的最小值为16．

①首先求，由（2）知，而是可能的．

当时，

设

则=

即，

又

得，即．

同理可得：．

对于数列：

此时，，满足题意．

所以的最大值为17；

②现证明：的最小值为16．

先证明为不可能的，假设．

设，

可得，即，元素最大值为10，所以．

又，

同理可以推出，矛盾，假设不成立，所以．

数列为：时，

，，中元素的最大值为16．

所以的最小值为16．