Question

【题目】已知椭圆：的右焦点为，过作两条直线分别与圆：相切于，且为直角三角形. 又知椭圆上的点与圆上的点的最大距离为.

（1）求椭圆及圆的方程；

（2）若不经过点的直线：(其中)与圆相切，且直线与椭圆交于，求的周长.

Answer 1

【答案】（1）圆的方程为：；椭圆的方程为：.（2）

【解析】

（1）由椭圆上的点与圆上的点的最大距离为，求出；再由为直角三角形，求出，进而可求出；即可得到椭圆及圆的方程；

（2）由直线和圆相切，得到，联立直线和椭圆方程，由韦达定理求出和，用弦长公式求出，再表示出，化简即可得到答案.

（1）由题意，椭圆上的点与圆上的点的最大距离为，

所以，又，所以；

为直角三角形，所以，又，

所以，即，解得；

又，解得；

圆的方程为：；椭圆的方程为：

（2）由题意，与圆相切：

由点到直线距离公式，，即；

设，，

由，整理得，

由，得…(※)，

且，，

由弦长公式，，

由，，

得，

的周长为.