Question

【题目】如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，，分别是，的中点.

（1）证明：；

（2）取，若为上的动点，与面所成最大角的正弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由已知条件推导出为正三角形，从而得到，，再由平面，得到，由此能证明平面,从而得到结论.
（2）为上任意一点，连接，，则为与平面所成的角，当最短时，即当时，最大，由此能求出二面角的余弦值.

（1）证明：∵四边形为菱形，，

∴为正三角形，

∵为的中点，∴

又∵，∴，

∵平面，平面，

∴

而平面，平面，，

∴平面，又平面，

所以.

（2）解：设，为上任意一点，连接，，如图

由（1）知平面，

所以为与平面所成的角，

在中，，

所以当最短时，最大，即当时，最大，

因为，

此时，

因此，又，

所以，所以，

因为平面，平面，

所以平面平面，

过作于，

则平面，

过作于，连接，

则为二面角的平面角，如图

在中，，，

又是的中点，在中，，

又，，

在中，，

即所求二面角的余弦值为.