Question

【题目】已知函数.

（1）当时，证明：；

（2）若在有且只有一个零点，求的范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）构造函数，利用导数可得其最小值大于等于，进而得证；

（2）构造函数，，，，则函数与的图象在上有且仅有一个交点，分类讨论即可得出结论.

（1）当时，，

令，则，

当时，，当时，，

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，

故，即，即得证；

（2）依题意，方程在上只有一个解，

记，，，，则函数与的图象在上有且仅有一个交点，

又在上恒成立，故函数在上单调递增，

（i）当时，函数在单调递增，在单调递减，

且，，，如图，

显然，此时满足函数与的图象在上有且仅有一个交点，符合题意；

（ii）当时，，显然在上有且仅有一个零点，符合题意；

（iii）当时，函数在单调递减，在单调递增，且，，，如图，

要使函数与的图象在上有且仅有一个交点，只需，即，即，又，故.

综上，实数的取值范围为.