Question

【题目】已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若点的横坐标为4，过的直线与抛物线有两个不同的交点，直线与圆交于点，且点的横坐标大于4，求当取得最小值时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由抛物线方程知，知圆心Q在线段OF的中垂线上，点Q到 准线的距离为，则可求出的值，进而求得抛物线C的标准方程；

（2）由题意设出直线方程，分别在抛物线和圆Q中求出弦长和，将表示成关于k的函数，且由点E的横坐标大于4可得出k的取值范围，利用导函数分析函数在上的单调性，求出其取得最小值时k的值，进而求出直线l的方程.

解：（1）由题意可知，

过三点的圆的圆心应在线段OF的中垂线上，

又因为点Q到准线的距离为，

解得，

故所求抛物线的方程为：；

（2）过的直线与抛物线有两个不同的交点

直线l的斜率存在，设l为：

由得，

设，

由韦达定理得

故焦点弦

圆过点，及点，

可求得圆Q的方程为

由

得，

， ，

点的横坐标大于4，

，解得

则

设

令，得或，

又 在单调递减，单调递增，

故

即当时，取得最小值，

故所求直线l的方程为：.