Question

已知函数y=sin⁴x+cos⁴x（x∈R）的值域是[

1

2

，1]，则
（1）函数y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是

 

；
（2）类比上述结论，函数y=sin²ⁿx+cos²ⁿx（n∈N^*）的值域是

 

．

Answer 1

考点：归纳推理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,推理和证明

分析：（1）y=sin⁶x+cos⁶x=

5

8

+

3

8

cos4x，结合余弦型函数的图象和性质，可得其值域为[

1

4

，1]；
（2）由函数y=sin²x+cos²x（x∈R）的值域是{1}，函数y=sin⁴x+cos⁴x（x∈R）的值域是[

1

2

，1]，函数y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是[

1

4

，1]，分析区间端点与n之间的变化规律，可得答案．

解答： 解：（1）y=sin⁶x+cos⁶x
=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）
=sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x
=（sin²x+cos²x）-3sin²xcos²x
=1-

3

4

sin²2x
=

5

8

+

3

8

cos4x，
故函数y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是[

1

4

，1]；
（2）由函数y=sin²x+cos²x（x∈R）的值域是{1}，
函数y=sin⁴x+cos⁴x（x∈R）的值域是[

1

2

，1]，
函数y=sin⁶x+cos⁶x（x∈R）的值域是[

1

4

，1]，
…
由此归纳可得：y=sin²ⁿx+cos²ⁿx（n∈N^*）的值域是[

1

2n-1

，1]，
故答案为：[

1

4

，1]，[

1

2n-1

，1]

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．