Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（1）若△ABC的面积等于

3

，试判断△ABC的形状并说明理由
（2）若sin C+sin（B-A）=2sin 2A，求a，b．

Answer 1

分析：（1）由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，再由三角形的面积公式，以及已知的面积与sinC的值，求出ab=4，两关系式联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可判断出三角形为等腰三角形；
（2）由sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，右边利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后分cosA=0和cosA不为0两种情况考虑，分别求出a与b的值即可．

解答：解：（1）∵c=2，cosC=

1

2

，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：a²+b²-ab=4①，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，∴ab=4②，
联立①②解得：a=b=2，
则△ABC为等腰三角形；
（2）由题意得：sin（A+B）+sin（B-A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A=

π

2

时，B=

π

6

，a=

4 3

3

，b=

2 3

3

；
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，
联立方程组得：

a2+b2-ab=4 b=2a

，解得：

a= 2 3 3 b= 4 3 3

．

点评：此题属于解三角形题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，和差化积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．