Question

如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

（1）证明：；
（2）若,求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：见解析；（2）二面角的余弦值为．

解析试题分析：（1）首先可得为正三角形．
根据为的中点，得到．进一步有．
由平面，证得．
平面．即得．                                            
（2）思路一：利用几何方法.遵循“一作，二证，三计算”，过作于，有平面，
过作于，连接，

即得为二面角的平面角，

在中，.
思路二：利用“向量法”：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
确定平面的一法向量及为平面的一法向量．
计算．
试题解析：（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．
又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，
所以．                      （7分）
（2）解法一：因为平面，平面，
所以平面平面．
过作于，则平面，
过作于，连接，
则为二面角的平面角，

在中，，，
又是的中点，在中，，
又， 在中，，
即所求二面角的余弦值为．                （14分）
解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以

，
，
所以．
设平面的一法向量为，
则因此
取，则，
因为，，，
所以平面，
故为平面的一法向量．
又，
所以．
因为二面角为锐角，
所以所求二面角的余弦值为．
考点：1.垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法.