Question

如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.若P为AC上的点，且满足。

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意和是等边三角形，且为中点，所以垂直,再利用长度，可知满足勾股定理，所以垂直，根据线面垂直的判定定理，结论得证；（Ⅱ）根据知点为为靠近点的三等分点，所以三棱锥的底面是边长为的正三角形，高由（1）知为,所以三棱锥的体积为；（Ⅲ）解法一：因为垂直平面，所以过作的垂线，垂足为，连接,则角为所求的二面角的平面角，在直角三角形中，求得二面角的正切值，进而求得正弦；解法二：建立空间直角坐标系，找到平面的法向量和平面的法向量，再利用二面角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，

又边长为2，

由于，在中，

，

（Ⅱ）, ；

（Ⅲ）解法一：过，连接AE，

，

即二面角的余弦值为.

解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

显然，平面的法向量为

设：平面的法向量，

由,，

∴二面角的余弦值为.

考点：1.线面垂直的判定定理；2.三棱锥的体积；3.二面角.