Question

已知函数f(x)=x²-(-1)^K·2lnx(k∈N^*).

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）k是偶数时，正项数列{a_n}满足a₁=1,f′(a_n)=，求{a_n}的通项公式；

（3）k是奇数，x＞0，n∈N^*时，求证：［f′(x)］ⁿ-2^n-1·f′(xⁿ)≥2ⁿ(2ⁿ-2).

Answer 1

解:（1）函数f(x)的定义域是(0,+∞)，k是奇数时,f(x)=x²+2lnx,f′(x)=2x+,x∈(0,+∞)时,f′(x)＞0.?

∴k是奇数时，f(x)在区间（0,+∞）内是增函数.                                                      ?

k是偶数时，f(x)=x²-2lnx,f′(x)=2x-,x∈(1,+∞)时，f′(x)＞0,x∈(0,1)时，f′(x)＜0.

∴k是偶数时，f(x)在区间（1，+∞）内是增函数，f(x) 在区间（0，1）内是减函数.?

（2）k是偶数时，f′(x)=2x-,∵f′(a_n)=,

∴2a_n-=.?

化简得2a_n²=a_n+1²-1,2(a_n²+1)²=a_n+1²+1,                                                                            ?

∴{a_n²+1}是以2为首项，公比q=2的等比数列，?

∴a_n²+1=2×2^n-1=2ⁿ.∴a_n＞0(n∈N^*).?

∴a_n=.                                                                                                        ?

（3）k是奇数时，f′(x)=2x+,x＞0,x∈N^*.?

［f′(x)］ⁿ-2^n-1·f′(xⁿ)=(2x+)ⁿ-2^n-1(2xⁿ+)?

=2ⁿ·［(x+)ⁿ-(xⁿ+)］?

=2ⁿ(C¹_nx^n-2+C²_nx^n-4+…+C^n-2_n·+C^n-1_n·).                                                       ?

令S=C¹_nx^n-2+C²_nx^n-4+…+C^n-2_n·+C^n-1_n·.

则2S=C¹_n（x^n-2+）+C²_n(x^n-4+)+…+C^n-1_n(x^n-2+)

≥2C¹_n+2C²_n+…+2C^n-1_n                                                                                                                                                                                          ?

=2·2ⁿ-4，?

∴S≥2ⁿ-2.      

∴［f′(n)］ⁿ-2^n-1·f′(xⁿ)≥2ⁿ(2ⁿ-2)(n∈N^*).