Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D、E分别用AB，AC的中点．
（1）求AC与BC₁所成角；
（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值；
（3）求C₁E与B₁D所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得CC₁⊥AC．利用勾股定理的逆定理可得∠ACB=$\frac{π}{2}$，再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出．
（3）建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出．

解答 解：（1）由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC．
在△ABC中，AC²+BC²=3²+4²=25=AB²，
∴∠ACB=$\frac{π}{2}$，即AC⊥BC，又CC₁∩BC=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁，∴AC与BC₁所成角为$\frac{π}{2}$．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．
C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，4）．
cos$＜\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{C{B}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{C{B}_{1}}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}||\overrightarrow{C{B}_{1}}|}$=$\frac{16}{\sqrt{25}×\sqrt{32}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．
（3）B（0，4，0），D（$\frac{3}{2}$，2，0），E（$\frac{3}{2}$，0，0），
$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=（$\frac{3}{2}$，0，-4），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（$\frac{3}{2}$，-2，-4），
∴cos$＜\overrightarrow{{C}_{1}E}，\overrightarrow{{B}_{1}D}＞$=$\frac{\overrightarrow{{C}_{1}E}•\overrightarrow{{B}_{1}D}}{|\overrightarrow{{C}_{1}E}||\overrightarrow{{B}_{1}D}|}$=$\frac{\frac{9}{4}+16}{\sqrt{\frac{9}{4}+16}\sqrt{\frac{9}{4}+4+16}}$=$\frac{\sqrt{6497}}{89}$．
∴C₁E与B₁D所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6497}}{89}$．

点评 本题考查了异面直线所成的角、勾股定理的逆定理、空间位置关系、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．