Question

如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA₁=1，侧面AA₁BB₁的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M．

(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；

(Ⅱ)求平面B₁BD与平面CBD所成锐二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)证明：连CA₁由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁得A₁A⊥AC

Rt△AA₁C中可得CA₁=BC=

又D为BA₁中点  ∴CD⊥BA₁(2分)

连CB₁，在Rt△CBB₁和Rt△BB₁M中，

∴Rt△CBB₁∽Rt△BB₁M  ∴∠B₁CB=∠MBB₁

又∵CB⊥BB₁  ∴CB₁⊥BM

又∵AC⊥BC  ∴AC⊥面CBB₁C₁

∴AC⊥BM  ∴BM⊥面ACB₁  ∴BM⊥CD

又∵BA₁∩BM=B  ∴CD⊥面BDM

(Ⅱ)过C作CH⊥AB垂足H，连DH

由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁得面ABC⊥面ABB₁A₁

∴CH⊥面ABB₁A₁

又由(Ⅰ)知CD⊥BD ∴据三垂线定理得DH⊥BD

∴∠HDC是平面B₁BD与平面CBD所成锐二面角的平面角

Rt△ACB中可求得CH=    Rt△BCD中可求得CD=1

Rt△HDC中，sin∠HDC=

∴平面B₁BD与平面CBD所成锐二面角的大小为arcsin