Question

如图，已知AB⊥平面BCE，CD∥ab，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（Ⅰ）在线段BE上是否存在一点F，使CF∥平面ADE？
（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）当F为BE的中点时，CF∥平面ADE…（1分）
证明：取BE的中点F、AE的中点G，连接GD，GD，CF
∴GF=

1

2

AB，GF∥AB
又∵DC=

1

2

AB，CD∥AB
∴CD∥GF，CD=GF
∴CFGD是平行四边形…（3分）
∴CF∥GD
∴CF∥平面ADE…（4分）
（Ⅱ）∵CF⊥BF，CF⊥AB
∴CF⊥平面ABE
∵CF∥DG
∴DG⊥平面ABE…（6分）
∵DG?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ADE…（7分）
（Ⅲ）∵AB=BE
∴AE⊥BG
∴BG⊥平面ADE
过G作GM⊥DE，连接BM，则BM⊥DE
则∠BMG为二面角A-DE-B的平面角…（9分）
设AB=BC=2CD=2，则
BG=

2

，GE=

2

在Rt△DCE中，CD=1，CE=2
∴DE=

5

又DG=CF=

3

由DE•GM=DG•EG得GM=

30

5

…（11分）
∴tan∠BMG=

BG

GM

=

15

3

∴面角A-DE-B的正切值

15

3

…（12分）