Question

【题目】已知椭圆：的焦距为，且椭圆过点，直线与圆: 相切，且与椭圆相交于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求三角形面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）方法一，由条件可知，再将点代入椭圆方程，求得椭圆的方程，方法二，由条件求得焦点坐标，再根据椭圆的定义，求得，最后求，求得椭圆方程；（2）方法一，讨论斜率存在和不存在两种情况，当斜率存在时，设直线与圆相切得到，并利用根与系数的关系表示弦长，并得到三角形的面积，利用换元法求面积的取值范围，法二，同法一表示三角形的面积，并通过构造换元，利用基本不等式求面积的取值范围.

（1）解法1: ，

椭圆方程

（1）解法2: 由已知得,则焦点坐标为

,

椭圆方程

（2）解法1 ：(i) 当直线斜率不存在时，

(ii)当直线斜率存在时，设直线方程为，联立 得：

，

又直线与圆相切，，即

令，则，

令，则

设,,则

, 在递增，

, 即

；

综上，由(i)和(ii)知，三角形面积的取值范围为.

解法2：(i)当直线斜率不存在时，

(ii)当直线斜率存在时，设直线方程为，联立 得：

，

又直线与圆相切，,即

令，则，，

综上，由(i)和(ii)知，三角形面积的取值范围为.