Question

【题目】在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，∥，，，，，为的中点．

（1）求证:∥平面；

（2）若点在线段上，满足，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）证法1：要证明线面平行，转化为证明线线平行，取中点，连接,，证明；证法2：要证明线面平行转化为证明面面平行，取中点，连接,，转化为平面平面；（2）取中点,连接、,易得，平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式求线面角的正弦值.

（Ⅰ）证法1：取中点，连接,.

为中点，,且.

又,且,,且，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，

平面；

证法2： 取中点，连接,.

为中点，，

又平面，平面，

平面.

又且,

四边形为平行四边形，,

又平面，平面，

平面，又,

平面平面，又平面,

平面；

（Ⅱ）取中点,连接、，.

,.

又平面平面,且平面平面，

平面，平面，

以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、

轴建立空间直角坐标系，如图所示，

,，

，，

,

设平面的法向量，

则，，

得，取,则，

设与平面所成的角为，

，

与平面所成的角的正弦值为.