【题目】已知函数(
是常数).
(1)若,求函数
的值域;
(2)若为奇函数,求实数
.并证明
的图像始终在
的图像的下方;
(3)设函数,若对任意
,以
为边长总可以构成三角形,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
;证明见解析(3)
【解析】
(1)把代入后反解可得
,解分式不等式即可;
(2)直接利用奇函数的定义代入即可求解,利用作差法即可证明结论;
(3)由题意可得,结合
,利用换元法转化为
,
,再结合二次函数的性质即可.
(1)由题意,(
是常数),
当时,此时
,即
,整理可得
,
因,则
,即
,
解得,
故函数的值域为
.
(2)由题意,为奇函数,则
,即
,
化简得,
∵恒不为零,
∴且
,解得
,此时
,
∴,
即的图像始终在
的图像的下方.
(3)由题意,得,
,
令,则
,其对称轴为
,
①当,即
时,此时
单调递减,
∴,即
,
解得或
,
∴;
②当,即
时,此时
先减后增左端点高,
∴即
,无解;
③当,即
时,此时
先减后增右端点高,
∴即
,无解;
④当,即
时,此时
单调递增,
∴即
,
解得或
,
∴;
综上,.
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【题目】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y万元有如下的统计资料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
(1)画出散点图并判断是否线性相关;
(2)如果线性相关,求线性回归方程;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
附注:①参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为
;
②参考数据:
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【题目】近年来,我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功,标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为,去除推进剂后的火箭有效载荷质量为
,火箭的飞行速度为
,初始速度为
,已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式:
,其中
是火箭发动机喷流相对火箭的速度,假设
,
,
,
是以
为底的自然对数,
,
.
(1)如果希望火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度
、第二宇宙速度
、第三宇宙速度
时,求
的值(精确到小数点后面1位).
(2)如果希望达到
,但火箭起飞质量最大值为
,请问
的最小值为多少(精确到小数点后面1位)?由此指出其实际意义.
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【题目】牛顿迭代法(Newton's method)又称牛顿–拉夫逊方法(Newton–Raphsonmethod),是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图,设是
的根,选取
作为
初始近似值,过点
作曲线
的切线
与
轴的交点的横坐标
,称
是
的一次近似值,过点
作曲线
的切线,则该切线与
轴的交点的横坐标为
,称
是
的二次近似值.重复以上过程,直到
的近似值足够小,即把
作为
的近似解.设
构成数列
.对于下列结论:
①;
②;
③;
④.
其中正确结论的序号为__________.
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【题目】市某机构为了调查该市市民对我国申办
年足球世界杯的态度,随机选取了
位市民进行调查,调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 合计 | |
男性市民 | |||
女性市民 | |||
合计 |
(1)根据已知数据,把表格数据填写完整;
(2)利用(1)完成的表格数据回答下列问题:
(i)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关;
(ii)已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人,其中
位是教师,现从这
位退休老人中随机抽取
人,求至多有
位老师的概率.
附:,其中
.
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【题目】已知抛物线:
内有一点
,过
的两条直线
,
分别与抛物线
交于
,
和
,
两点,且满足
,
,已知线段
的中点为
,直线
的斜率为
.
(1)求证:点的横坐标为定值;
(2)如果,点
的纵坐标小于3,求
的面积的最大值.
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【题目】某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100位学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.
(1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图(如图所示);
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | 0.050 | |
第2组 | ① | 0.350 | |
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | 0.200 | |
第5组 | 10 | 0.100 | |
合计 | 100 | 1.000 |
频率分布直方图
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6位学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少位学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在6位学生中随机抽取2位学生接受A考官进行面试,求第4组至少有一位学生被考官A面试的概率.
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【题目】已知抛物线与双曲线
有公共焦点
,点
是曲线
在第一象限的交点,且
.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)以双曲线的另一焦点
为圆心的圆
与直线
相切,圆
.过点
作互相垂直且分别与圆
、圆
相交的直线
和
,设
被圆
截得的弦长为
,
被圆
截得的弦长为
,问:
是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
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