【题目】函数,其中,.
(1)若为定值,求的最大值;
(2)求证:对任意,有 ;
(3)若,,求证:对任意,直线与曲线有唯一公共点.
【答案】(1)(2)见证明;(3)见证明;
【解析】
(1)n看作常数,函数求导后令导数等于零,可得,可知函数在处有极大值,可得函数最大值(2)取得,利用放缩法得 ,再根据裂项相消法求和即可(3)要证明当,时,关于的方程有唯一解,令,即证明有唯一零点,再利用导数得函数单调性,极值确定函数大致图象,证明只有唯一零点即可.
(1)为定值,故,令,得,当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以当时,函数有极大值 ,也是最大值,所以.
(2)由前一问可知,取得,于是
.
(3)要证明当,时,关于的方程有唯一解,令,即证明有唯一零点,先证明存在零点,再利用导数得函数单调性,极值确定函数只有唯一零点.
我们先证三个引理
【引理1】
(由第1问取即可)
【引理2】
(由【引理1】变形得到)
【引理3】
(可直接证明也可由【引理2推出】
证明:.
下面我们先证明函数存在零点,先由【引理2】得到:
.
令,可知.再由【引理3】得到,于是
.
令,且,可知.由连续性可知该函数一定存在零点.
下面我们开始证明函数最多只能有一个零点.我们有
.
令,则,则在递增,在递减,即.
当时,有恒成立,在上递增,所以最多一个零点.
当时,令,,即,于是
.
再令,由【引理1】可以得到.
因此函数在递增,递减,递增,时,有极大值但其极大值,所以最多只有一个零点.
综上,当,时,函数与的图像有唯一交点.
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【题目】已知函数,且函数奇函数而非偶函数.
(1)写出的单调性(不必证明);
(2)当时,的取值范围恰为,求与的值;
(3)设是否存在实数使得函数有零点?若存在,求出实数的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】市某机构为了调查该市市民对我国申办年足球世界杯的态度,随机选取了位市民进行调查,调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 合计 | |
男性市民 | |||
女性市民 | |||
合计 |
(1)根据已知数据,把表格数据填写完整;
(2)利用(1)完成的表格数据回答下列问题:
(i)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关;
(ii)已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人,其中位是教师,现从这位退休老人中随机抽取人,求至多有位老师的概率.
附:,其中.
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【题目】在三棱拄中,侧面,已知,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)试在棱(不包含端点)上确定一点的位置,使得;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求和平面所成角正弦值的大小.
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【题目】呼和浩特市地铁一号线于2019年12月29日开始正式运营有关部门通过价格听证会,拟定地铁票价后又进行了一次调查.调查随机抽查了50人,他们的月收入情况与对地铁票价格态度如下表:
月收入(单位:百元) | ||||||
认为票价合理的人数 | 1 | 2 | 3 | 5 | 3 | 4 |
认为票价偏高的人数 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(1)若以区间的中点值作为月收入在该区间内人的人均月收入求参与调查的人员中“认为票价合理者”的月平均收入与“认为票价偏高者”的月平均收入的差是多少(结果保留2位小数);
(2)由以上统计数据填写下面列联表分析是否有的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁票价的态度有差异”
月收入不低于5500元人数 | 月收入低于5500元人数 | 合计 | |
认为票价偏高者 | |||
认为票价合理者 | |||
合计 |
附:
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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【题目】下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B.三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为,,,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为
C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为
D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是
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