Question

已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），设数列|x_n|由f（x_n）=n（n=1，2，…）定义．
（1）求x₁、x₂和x_n的表达式；
（2）计算

lim

n→∞

xn；
（3）求f（x）的表达式，并写出其定义域；

Answer 1

分析：1）依题意f（0）=0，又由f（x₁）=1，当0≤y≤1时，x₁=1．又由f（x₂）=2，当1≤y≤2时，x2=1+

1

b

.由此入手结合题意可求出xn=

b-( 1 b )n-1

b-1

.
（2）当b＞1时，

lim

n→∞

xn=  

lim

n→∞

b-( 1 b )n-1

b-1

=

b

b-1

；当0＜b＜1时，n→∞，x_n也趋向于无穷大．
（3）分类讨论可知当b＞1时，y=f（x）的定义域为[0，

b

b-1

)；当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）．

解答：（1）解：依题意f（0）=0，又由f（x₁）=1，当0≤y≤1时，
函数y=f（x）的图象是斜率为b⁰=1的线段，
故由

f(x1)-f(0)

x1-0

=1
得x₁=1．
又由f（x₂）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，
故由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=b，
即x2-x1=

1

b

得x2=1+

1

b

.
记x₀=0．由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为b^n-1，
故得

f(xn)-f(xn-1)

xn-xn-1

=bn-1.
又f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1，∴xn-xn-1=(

1

b

)n-1，n=1，2.
由此知数列{x_n-x_n-1}为等比数列，其首项为1，公比为

1

b

.
因b≠1，得xn=

n

k=1

(xk-xk-1)=1+

1

b

++

1

bn-1

=

b-( 1 b )n-1

b-1

，
即xn=

b-( 1 b )n-1

b-1

.
（2）解：由（1）知xn=

b-( 1 b )n-1

b-1

.
当b＞1时，

lim

n→∞

xn=  

lim

n→∞

b-( 1 b )n-1

b-1

=

b

b-1

；
当0＜b＜1时，n→∞，x_n也趋向于无穷大．
（3）解：由（1）知：
当0≤x≤1时，y=x．即当0≤x≤1时，f（x）=x；
当n≤y≤n+1时，即x_n≤x≤x_n-1时，
由（1）可知，f（x）=n+bⁿ（x-x_n）（n=1，2，）．
由（2）知：当b＞1时，
y=f（x）的定义域为[0，

b

b-1

)；
当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）．

点评：本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．